CUERPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS: 2017

martes, 21 de febrero de 2017

INFORMACIÓN DEL GRUPO

UNEXPO
Vice-Rectorado
" Luís Caballero Mejías "

Materia: Mecánica Racional
Sección: 01
Profesora: Ing. Dubraska Rodríguez MSc

Integrantes:

Elmilidsa Arango
2010203011

Angelica Salcedo
2013103320

Angela Vélez
2008103346

INTRODUCCIÓN

Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general esas deformaciones son pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración. No obstante, tales deformaciones son importantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de las estructuras y están consideradas en el estudio de la mecánica de materiales.

En este capítulo se estudiara el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se aprenderá como reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple.

FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en

Dos grupos: Fuerzas externas y Fuerzas internas.

Las fuerzas externas: representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o aseguran que este permanezca en reposo.

Las fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Si este está constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.

Principio de transmisibilidad:

Dos fuerzas F y F', que actúan sobre un cuerpo rígido en dos puntos distintos tienen el mismo efecto sobre dicho cuerpo si tienen la misma magnitud, la misma dirección y la misma línea de acción. Se dice que dos fuerzas como estas son equivalentes.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

V=P ×Q

De dos vectores P y Q se define como el vector perpendicular al plano que contiene a P y a Q, cuya magnitud es igual a:

V=PQsenθ

Y que está dirigido de manera que una persona ubicada en la parte terminal de V verá la rotación a través de un Ángulo 0 que hace al vector P colonial con el vector Q como contraria al movimiento de las manecillas del reloj. Se dice que los tres vectores P. Q y V —considerados en ese orden— forman una triada de mano derecha. Se concluye que los productos vectoriales Q X P y P x Q están representados por vectores iguales y opuestos. Así, se tiene que

Q ×P= -( P ×Q )

PRODUCTOS VECTORIALES DE LOS VECTORES UNITARIOS (i, j, k)

i×i=o i×j=k j×i=-k

Y así sucesivamente. El signo del producto vectorial de dos vectores unitarios puede obtenerse ordenando las tres letras que representan los vectores unitarios en un círculo, en un sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, el producto vectorial de dos vectores unitarios será positivo si estos se siguen uno al otro en un orden contrario a las manecillas del reloj y será negativo si estos se siguen uno al otro en el sentido de las manecillas del reloj.

COMPONENTES RECTANGULARES DEL PRODUCTO VECTORIAL

VX=PY QZ - PZ QY

VY=PZ QX - PX QZ

VZ=PX QY - PY QX

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO

MO=r×F

Donde r es el vector de posición trazado desde O hasta el punto de aplicación A de la fuerza F. Si se representa con el Ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encontró que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como:

MO=rFsen∅=Fd

COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO

MX=yFZ - zFY

MY=zFX - xFZ

Mz=xFY - yFX

Donde x, y y z son las componentes del vector de posición r

MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA EN A CON RESPECTO A UN PUNTO ARBITRARIO B.

Donde xA/B, yA/B y zA/B son las componentes del vector rA/B:

x(A/B)=xA - xB

y(A/B)=yA - yB

z(A/B)=zA - zB

En el caso de problemas que involucran únicamente a dos dimensiones, se puede suponer que la fuerza F se encuentra en el plano xy. Su momento MB con respecto a un punto B que se encuentra en ese mismo plano es perpendicular al plano en cuestión, y está completamente definido por el escalar:

MB=(xA - xB ) FY - (yA - yB ) FX

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Se denota por P • Q y se define como la cantidad escalar de:

P.Q=PQcosθ

Donde θ es el ángulo entre P y Q. Se expresa el producto escalar de P y Q en términos de las componentes escalares de los dos vectores:

P.Q=Px Qx + Py Qy + PzQz

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE

La proyección de un vector P sobre un eje OL se puede obtener formando el producto escalar de P y el vector unitario X a lo largo de OL. Así, se tiene que:

POL=P.ℷ

O, con las componentes rectangulares,

POL=Px cosθx + Py cosθy + Pz cosθz

Donde θx,θy, θz representan los ángulos que forma el eje OL con los ejes coordenados.

PRODUCTO TRIPLE ESCALAR DE TRES VECTORES

S.(P×Q)

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A SU EJE

El momento de una fuerza F con respecto a un eje OL se define como la proyección OC sobre OL del momento MO de la fuerza F esto es, se define como el producto triple escalar del vector unitario λ, el vector de posición r y la fuerza F:

MOL=λ.MO=λ.(r×F)

Donde λX,λY,λZ = cosenos directores del eje OL
x , y , z = componentes de r
Fx, Fy, Fz = componentes de F

SISTEMA FUERZAS-PAR

Cualquier fuerza F que actúa en un punto A de un cuerpo rígido puede reemplazarse por un sistema fuerza-par en un punto arbitrario O el cual consta de la fuerza F aplicada en O y un par de momento Mo, igual al momento de la fuerza F en su posición original con respecto a O se debe señalar que la fuerza F y el vector de par Mo siempre son perpendiculares entre sí.

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UN SISTEMA DE FUERZA-PAR

Concluye que cualquier sistema de fuerzas puede ser reducido a un sistema fuerza-par en un punto dado O, reemplazando primero cada una de las fuerzas del sistema por un sistema equivalente fuerza-par en O para después sumar todas las fuerzas y todos los pares determinados de esta forma con el fin de obtener a la fuerza resultante R y al vector de par resultante Mo. Obsérvese que, en general, la resultante R y el vector de par MO no serán perpendiculares entre sí.

SISTEMA EQUIVALENTES DE FUERZAS

Con base en lo anterior, se concluye que, en lo que respecta a los cuerpos rígidos, dos sistemas de fuerzas F1, F2,F3…..y…F'1,F'2,F'3 son equivalentes si, y sólo si,

ΣF=ΣF' y ΣM0=ΣMo'

REDUCCIÓN ADICIONAL DE UN SISTEMA DE FUERZAS

Si la fuerza resultante R y el vector de par resultante son perpendiculares entre sí, el sistema fuerza-par en O puede reducirse aún más a una sola fuerza resultante, Este es el caso para sistemas que están constituidos por:

a) fuerzas concurrentes

b) fuerzas coplanares

c) fuerzas paralelas

Si la resultante R y el vector de par no son perpendiculares entre sí, el sistema no puede ser reducido a una sola fuerza. Este, sin embargo, puede ser reducido a un tipo especial de sistema fuerza-par que recibe el nombre de llave de torsión, el cual consta de la resultante R y un vector de par dirigido a lo largo de R.